Алексей Бугаев тренируется в детско-юношеской спортивно-адаптивной школе «Центр адаптивного спорта» города Красноярска. Первый тренер – Николай Федотович Молтянский. В настоящее время тренируется под руководством Александра Викторовича Назарова, мастера спорта СССР по горнолыжному спорту, и Виталия Николаевича Имбова.

Лёша – кандидат в мастера спорта России. Серебряный и бронзовый призёр чемпионата мира по горнолыжному спорту лиц с поражением опорно-двигательного аппарата, призёр чемпионатов России, победитель общего зачёта кубка мира сезона 2012–2013 года, неоднократный победитель и призёр Кубков мира и Европы, чемпион и призёр чемпионата России. Участник ХI Паралимпийских зимних игр 2014 года в Сочи. Алексей Бугаев является стипендиатом Президента Российской Федерации.

В свободное время увлекается экстремальной ездой на горном велосипеде.

Результаты выступления Алексея Бугаева на ХI Паралимпийских зимних играх

Горнолыжный спорт лиц с поражением опорно-двигательного аппарата, мужчины:
Слалом1-е место
Супер-комбинация1-е место
Скоростной спуск2-е место
Гигантский слалом2-е место
Супер-гигант, мужчины3-е место